ESTADÍSTICA
DEFINICIÓN
La estadística es una ciencia formal y
una herramienta que estudia el uso y los análisis provenientes de una muestra
representativa de datos, busca
explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de
ocurrencia en forma aleatoria o condicional.
Sin embargo, la estadística es
más que eso, es decir, es la herramienta fundamental que permite llevar a cabo
el proceso relacionado con la investigación científica.
Es transversal a una amplia
variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde
las ciencias de la salud hasta el control de calidad.
ANTECEDENTES
HISTÓRICOS
Origen: El
término alemán Statistik,
introducido originalmente por Gottfried Achenwall en 1749,
se refería al análisis de datos del Estado, es decir, la «ciencia del Estado» (o más bien, de
la ciudad-estado).
También se llamó aritmética política de acuerdo con la
traducción literal del inglés. No fue hasta el siglo XIX
cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar
y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el militar
británico sir John
Sinclair (1754-1835).
En su origen, por tanto, la estadística estuvo
asociada a los Estados o ciudades libres, para ser utilizados por el gobierno y
cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La colección de datos acerca
de estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de
estadística nacional e internacional. En particular, los censos comenzaron a suministrar
información regular acerca de la población de cada país. Así pues, los datos estadísticos
se referían originalmente a los datos demográficos de una ciudad o Estado
determinados. Y es por ello que en la clasificación decimal de Melvil Dewey, empleada en las bibliotecas, todas las obras
sobre estadística se encuentran ubicadas al lado de las obras de o sobre
la demografía.
Ya se utilizaban representaciones gráficas y otras
medidas en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para controlar el
número de personas, animales o ciertas mercancías. Hacia el año 3000 a. C. los babilonios usaban ya
pequeños envases moldeados de arcilla para recopilar datos sobre la producción
agrícola y de los géneros vendidos o cambiados. Los egipcios analizaban los
datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las
pirámides en el siglo XI a. C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen en algunas partes trabajos de
estadística. El primero contiene dos censos de la población de la Tierra de Israel y el segundo describe el bienestar material
de las diversas tribus judías. En China existían registros
numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los antiguos griegos
realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para cobrar impuestos.
Orígenes en probabilidad: Los métodos
estadístico-matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia entre
Pascal y Pierre de Fermat (1654).Christian Huygens (1657) da el
primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars
coniectandi (póstumo, 1713) de
Jakob Bernoulli y la Doctrina de posibilidades (1718)
de Abraham de Moivre estudiaron la materia como
una rama de las matemáticas.[1] En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo
fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la
estadística.
La teoría de errores se puede remontar a la Ópera miscellánea (póstuma,
1722) de Roger Cotes y
al trabajo preparado por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) el cual aplica por
primera vez la teoría de la discusión de errores de observación. La reimpresión
(1757) de este trabajo incluye el axioma de
que errores positivos y negativos son igualmente probables y que hay unos
ciertos límites asignables dentro de los cuales se encuentran todos los
errores; se describen errores continuos y una curva de probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1774) hace el primer
intento de deducir una regla para la combinación de observaciones desde los
principios de la teoría de probabilidades. Laplace representó la Ley de
probabilidades de errores mediante una curva y dedujo una fórmula para la media
de tres observaciones. También, en 1871, obtiene la fórmula para la ley de
facilidad del error (término introducido por Lagrange, 1744) pero con ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introduce el principio del máximo
producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de
mínimos cuadrados, el cual
fue usado para minimizar los errores en mediciones, fue publicado independientemente por Adrien-Marie Legendre (1805),Robert Adrain (1808),
y Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss había usado
el método en su famosa predicción de la localización del planeta enano Ceres en 1801. Pruebas
adicionales fueron escritas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844,
1856), John Herschel (1850) y Morgan Crofton (1870).
Otros contribuidores fueron Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli(1875). La fórmula de Peters para
, el probable
error de una observación simple es bien conocido.
, el probable
error de una observación simple es bien conocido.
El siglo XIX incluye autores como Laplace, Silvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873),
Liagre, Didion y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la presentación de la teoría. Adolphe Quetelet (1796-1874), fue otro importante fundador de
la estadística y quien introdujo la noción del «hombre promedio» (l’homme
moyen) como un medio de entender los fenómenos sociales complejos
tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios.
CLASIFICACIÓN
Se dedica a
la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los
fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente.
Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, gráfico circular, entre otros.
Se dedica
a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los
fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de
las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias
acerca de la población bajo
estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas
sí/no (prueba de hipótesis), estimaciones de unas características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de
asociación (correlación) o
modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen a nova, series de tiempo y minería de datos.
IMPORTANCIA
ACTUAL DE LA ESTADÍSTICA
Durante
el siglo XX, la
creación de instrumentos precisos para asuntos de salud pública (epidemiología, bioestadística, etc.) y
propósitos económicos y sociales (tasa de desempleo, econometría, etc.)
necesitó de avances sustanciales en las prácticas estadísticas.
Hoy el
uso de la estadística se ha extendido más allá de sus orígenes como un servicio
al Estado o
al gobierno. Personas y organizaciones usan la estadística para entender datos
y tomar decisiones en ciencias naturales y sociales, medicina, negocios y otras
áreas. La estadística es entendida generalmente no como un sub-área de las
matemáticas sino como una ciencia diferente «aliada». Muchas universidades tienen
departamentos académicos de matemáticas y estadística separadamente. La
estadística se enseña en departamentos tan diversos como psicología, educación y salud pública.
Al aplicar la estadística a un problema científico,
industrial o social, se comienza con un proceso o población a ser estudiado. Esta puede ser la población
de un país, de granos cristalizados en una roca o de bienes manufacturados por
una fábrica en particular durante un periodo dado. También podría ser un
proceso observado en varios instantes y los datos recogidos de esta manera
constituyen una serie de tiempo.
Por razones prácticas, en lugar de compilar datos
de una población entera, usualmente se estudia un subconjunto seleccionado de
la población, llamado muestra. Datos acerca de la muestra son recogidos de
manera observacional o experimental. Los
datos son entonces analizados estadísticamente lo cual sigue dos propósitos:
descripción e inferencia.
El concepto de correlación es particularmente
valioso. Análisis estadísticos de un conjunto de datos puede
revelar que dos variables (esto es, dos propiedades de la población bajo
consideración) tienden a variar conjuntamente, como si hubiera una conexión
entre ellas. Por ejemplo, un estudio del ingreso anual y la edad de muerte podría
resultar en que personas pobres tienden a tener vidas más cortas que personas
de mayor ingreso. Las dos variables se dice que están correlacionadas. Sin
embargo, no se puede inferir inmediatamente la existencia de una relación de
causalidad entre las dos variables. El fenómeno correlacionado podría ser la
causa de una tercera, previamente no considerada, llamada variable confusora.
Si la muestra es representativa
de la población, inferencias y conclusiones hechas en la muestra pueden ser
extendidas a la población completa. Un problema mayor es el de determinar cuán
representativa es la muestra extraída.
La estadística ofrece medidas
para estimar y corregir por aleatoriedad en la muestra y en el proceso de
recolección de los datos, así como métodos para diseñar experimentos robustos
como primera medida, ver diseño experimental.
El concepto matemático
fundamental empleado para entender la aleatoriedad es el de probabilidad.
La estadística matemática (también llamada teoría
estadística) es la rama de las matemáticas aplicadas que usa la teoría de probabilidades y el análisis matemático para examinar las bases teóricas de la
estadística.
El uso de cualquier método
estadístico es válido solo cuando el sistema o población bajo consideración
satisface los supuestos matemáticos del método. El mal uso de la estadística
puede producir serios errores en la descripción e interpretación, lo cual
podría llegar a afectar políticas sociales, la práctica médica y la calidad de
estructuras tales como puentes y plantas de reacción nuclear.
Incluso cuando la estadística es correctamente
aplicada, los resultados pueden ser difíciles de interpretar por un inexperto.
Por ejemplo, el significado estadístico de una tendencia en los datos, que mide
el grado al cual la tendencia puede ser causada por una variación aleatoria en
la muestra, puede no estar de acuerdo con el sentido intuitivo. El conjunto de
habilidades estadísticas básicas (y el escepticismo) que una persona necesita
para manejar información en el día a día se refiere como «cultura estadística».
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA:
Media aritmética, es la que se obtiene sumando los datos y dividiéndolos por el
número de ellos. Se aplica por ejemplo para resumir el número de pacientes
promedio que se atiende en un turno. Otro ejemplo, es el número promedio de
controles prenatales que tiene una gestante.
Responde a la fórmula: 
MEDIANA: Corresponde al percentil 50%. Es decir, la mediana
divide a la población exactamente en dos. Por ejemplo el número mediana de
hijos en el centro de salud “X” es dos hijos. Otro ejemplo es el número mediana
de atenciones por paciente en un consultorio.
Responde a la fórmula: 
MODA:
Valor o (valores) que aparece(n) con mayor frecuencia. Una distribución
unimodal tiene una sola moda y una distribución bimodal tiene dos. Útil como
medida resumen para las variables nominales. Por ejemplo, el color del uniforme
quirúrgico en sala de operaciones es el verde; por lo tanto es la moda en
colores del uniforme quirúrgico.
MEDIDAS
DE DISPERSIÓN
·
VARIANZA:
es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y la media
aritmética del conjunto de observaciones.
Responde a la
formula 
Haciendo operaciones en la
fórmula anterior obtenemos otra fórmula para calcular la varianza:
Responde a la formula 
Si los datos están agrupados
utilizamos las marcas de clase en lugar de Xi.
·
DESVIACIÓN TÍPICA: La
varianza viene dada por las mismas unidades que la variable pero al cuadrado,
para evitar este problema podemos usar como medida de dispersión la desviación
típica que se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza
Responde a la formula 
Para estimar la desviación
típica de una población a partir de los datos de una muestra se utiliza la
fórmula (cuasi desviación típica):
Responde a la formula 
· RECORRIDO O RANGO MUESTRA (Re). Es la
diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor
Responde a la formula 
PROBABILIDAD
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.
Regla de la adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
Regla de Laplace
La regla de Laplace establece que:
- La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
- La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.
Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.
- La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:
P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles
Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.
Distribución binomial
La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.
- Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
- La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
- La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.
Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m
Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m
Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m
